“Tokoh yang Berperan dalam Perkembangan Mekanika Fluida” -Paulus Leonhard Euler- (Anonim TEP45)


 

“Tokoh yang Berperan dalam Perkembangan Mekanika Fluida”

-Paulus Leonhard Euler-

  1. A. Pendahuluan

Di abad ke-17 Swiss punya seorang matematikus dan ahli fisika yang teramat brilian dan ilmuwan terkemuka sepanjang masa. Orang itu Leonhard Euler. Hasil karyanya mempengaruhi penggunaan semua bidang fisika dan di banyak bidang rekayasa.

Paulus Leonhard Euler (15 April 1707 – 18 September 1783) adalah seorang pionir Swissmatematikawan dan fisikawan yang menghabiskan sebagian besar hidupnya di Rusia dan Jerman.His surname is pronounced /ˈɔɪlər/OY -lər in English and [ˈɔʏlɐ] in German; the common English pronunciation /ˈjuːlər/EW -lər is incorrect. [ 1 ][ 2 ][ 3 ][ 4 ]

Euler made important discoveries in fields as diverse as infinitesimal calculus and graph theory . Euler membuat penemuan penting di bidang-bidang beragam seperti kalkulus sangat kecil dan teori grafik.He also introduced much of the modern mathematical terminology and notation, particularly for mathematical analysis , such as the notion of a mathematical function . [ 5 ] He is also renowned for his work in mechanics , fluid dynamics , optics , and astronomy . Dia juga memperkenalkan banyak istilah matematika modern dan notasi, terutama untuk analisis matematis, seperti pengertian tentang fungsi matematika. Ia juga terkenal karena karyanya dalam mekanika,dinamika fluida,optik, dan astronomi.

Euler is considered to be the preeminent mathematician of the 18th century and one of the greatest of all time. Euler adalah dianggap sebagai matematikawan terkemuka abad ke-18 dan salah satu yang terbesar sepanjang masa. He is also one of the most prolific; his collected works fill 60–80 quarto volumes. [ 6 ] A statement attributed to Pierre-Simon Laplace expresses Euler’s influence on mathematics: “Read Euler, read Euler, he is the master [ie, teacher] of us all.” [ 7 ] Dia juga salah satu yang paling produktif; nya mengisi 60-80 mengumpulkan karya kuarto jilid.  Sebuah pernyataan yang dikaitkan dengan Pierre-Simon Laplace Euler mengungkapkan pengaruh pada matematika: “Baca Euler, baca Euler, ia adalah tuan [yaitu, guru] dari kita semua.

Euler was featured on the sixth series of the Swiss 10- franc banknote and on numerous Swiss, German, and Russian postage stamps . Euler ini muncul dalam seri keenam dari Swiss 10 – franc mata uang dan pada berbagai Swiss, Jerman, dan Rusia perangko.The asteroid2002 Euler was named in his honor. The asteroid2002 Euler dinamai untuk menghormatinya. He is also commemorated by the Lutheran Church on their Calendar of Saints on 24 May – he was a devout Christian (and believer in biblical inerrancy ) who wrote apologetics and argued forcefully against the prominent atheists of his time. [ 8 ] Ia juga diperingati oleh Gereja Lutheran pada Kalender Orang Kudus pada tanggal 24 Mei – ia adalah seorang Kristen yang saleh (dan percaya pada Alkitab ketidakmungkinsalahan) yang menulis apologetika dan berpendapat tegas terhadap ateis terkemuka pada zamannya.

  1. Kehidupan

Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Dia diterima masuk Universitas Basel tahun 1720 tatkala umurnya baru mencapai tiga belas tahun. Mula-mula dia belajar teologi, tetapi segera pindah ke mata pelajaran matematika. Dia peroleh gelar sarjana dari Universitas Basel pada umur tujuh belas tahun dan tatkala umurnya baru dua puluh tahun dia terima undangan dari Catherine I dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Di umur dua puluh tiga tahun dia jadi mahaguru fisika di sana dan ketika umurnya dua puluh enam tahun dia menggantikan korsi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikus masyhur Daniel Bernoulli. Dua tahun kemudian penglihatan matanya hilang sebelah, namun dia meneruskan kerja dengan kapasitas penuh, menghasilkan artikel-artikel yang brilian.

Tahun 1741 Frederick Yang Agung dari Prusia membujuk Euler agar meninggalkan Rusia dan memintanya bergabung ke dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di Berlin. Dia tinggal di Berlin selama dua puluh lima tahun dan kembali ke Rusia tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua matanya tak bisa melihat lagi. Bahkan dalam keadaan tertimpa musibah macam ini, tidaklah menghentikan penyelidikannya. Euler memiliki kemampuan spektakuler dalam hal mental aritmatika, dan hingga dia tutup usia (tahun 1783 di St. Petersburg –kini bernama Leningrad– pada umur tujuh puluh enam tahun), dia terus mengeluarkan kertas kerja kelas tinggi di bidang matematika. Euler kawin dua kali dan punya tiga belas anak, delapan diantaranya mati muda.

Semua penemuan Euler bisa saja dibuat orang bahkan andaikata dia tidak pernah hidup di dunia ini. Meskipun saya pikir, kriteria yang layak digunakan dalam masalah ini adalah mengajukan pertanyaan-pertanyaan: apa yang akan terjadi pada dunia modern apabila dia tidak pernah berbuat apa-apa? Dalam kaitan dengan Leonhard Euler jawabnya tampak jelas sekali: pengetahuan modern dan teknologi akan jauh tertinggal di belakang, hampir tak terbayangkan, tanpa adanya formula Euler, rumus-rumusnya, dan metodenya. Sekilas pandangan melirik indeks textbook matematika dan fisika akan menunjukkan penjelasan-penjelasan ini sudut Euler (gerak benda keras); kemantapan Euler (deret tak terbatas); keseimbangan Euler (hydrodinamika); keseimbangan gerak Euler (dinamika benda keras); formula Euler (variabel kompleks); penjumlahan Euler (rentetan tak ada batasnya), curve polygonal Eurel (keseimbangan diferensial); pendapat Euler tentang keragaman fungsi (keseimbangan diferensial sebagian); transformasi Euler (rentetan tak terbatas); hukum Bernoulli-Euler (teori elastisitis); formula Euler-Fourier (rangkaian trigonometris); keseimbangan Euler-Lagrange (variasi kalkulus, mekanika); dan formula Euler-Maclaurin (metode penjumlahan) itu semua menyangkut sebagian yang penting-penting saja.

Dari sudut ini, pembaca mungkin bertanya-tanya kenapa Euler tidak dapat tempat lebih tinggi dalam daftar urutan buku ini. Alasan utama ialah, meskipun dia dengan brilian dan sukses menunjukkan betapa hukum-hukum Newton dapat diterapkan, Euler tak pernah menemukan prinsip-prinsip ilmiah sendiri. Itu sebabnya mengapa tokoh-tokoh seperti Becquerel, Rontgen, dan Gregor Mendel, yang masing-masing menemukan dasar baru fenomena dan prinsip ilmiah, ditempatkan di urutan lebih atas ketimbang Euler. Tetapi, bagaimanapun juga, sumbangan Euler terhadap, dunia ilmu, terhadap bidang rekayasa dan matematika, bukan alang kepalang besarnya.

a)    Awal Tahun

Euler lahir di Basel Paul Euler, seorang pendeta dari Gereja Reformasi, dan Marguerite Brucker, putri seorang pendeta. He had two younger sisters named Anna Maria and Maria Magdalena. Dia memiliki dua adik perempuan bernama Anna Maria dan Maria Magdalena. Soon after the birth of Leonhard, the Eulers moved from Basel to the town of Riehen , where Euler spent most of his childhood. Segera setelah kelahiran Leonhard, yang Eulers pindah dari Basel ke kota Riehen, di mana Euler menghabiskan sebagian besar masa kecilnya. Paul Euler was a friend of the Bernoulli familyJohann Bernoulli , who was then regarded as Europe’s foremost mathematician , would eventually be the most important influence on young Leonhard. Paulus Euler adalah teman dari keluarga BernoulliJohann Bernoulli, yang waktu itu dianggap sebagai terkemuka Eropa matematikawan, akhirnya akan pengaruh yang paling penting Leonhard muda. Euler’s early formal education started in Basel, where he was sent to live with his maternal grandmother. Euler awal pendidikan formal dimulai di Basel, di mana ia dikirim untuk tinggal bersama neneknya. At the age of thirteen he enrolled at the University of Basel , and in 1723, received his M.Phil. with a dissertation that compared the philosophies of Descartes and Newton . Pada usia tiga belas ia kuliah di Universitas Basel, dan tahun 1723, menerima gelar M. Phil. Dengan disertasi yang membandingkan filsafat Descartes dan Newton.At this time, he was receiving Saturday afternoon lessons from Johann Bernoulli, who quickly discovered his new pupil’s incredible talent for mathematics. [ 9 ] Euler was at this point studying theology , Greek , and Hebrew at his father’s urging, in order to become a pastor, but Bernoulli convinced Paul Euler that Leonhard was destined to become a great mathematician. Pada saat ini, ia menerima pelajaran dari hari Sabtu sore Johann Bernoulli, yang dengan cepat menemukan murid barunya bakat luar biasa untuk matematika.  Euler berada di titik ini belajar teologi,Yunani, dan Ibrani di desakan ayahnya, untuk menjadi seorang pendeta, tapi yakin Paulus Bernoulli Leonhard Euler yang ditakdirkan untuk menjadi seorang matematikawan besar. In 1726, Euler completed his Ph.D. Tahun 1726, Euler menyelesaikan Ph.D. dissertation on the propagation of sound with the title De Sono[ 10 ] and in 1727, he entered the Paris Academy Prize Problem competition, where the problem that year was to find the best way to place the masts on a ship. disertasi pada propagasi suara dengan judul De Sono dan pada tahun 1727, ia memasuki Akademi Paris Hadiah Soal persaingan, di mana masalah tahun itu adalah untuk menemukan cara terbaik untuk menempatkan tiang-tiang di atas kapal. He won second place, losing only to Pierre Bouguer —who is now known as “the father of naval architecture”. Dia memenangkan tempat kedua, kehilangan hanya untuk Pierre Bouguer-yang sekarang dikenal sebagai “ayah dari arsitektur angkatan laut”. Euler subsequently won this coveted annual prize twelve times in his career. [ 11 ] Euler kemudian memenangkan hadiah tahunan yang didambakan ini dua belas kali dalam karirnya.

b)    St Petersburg

Sekitar waktu ini Johann Bernoulli dua anak laki-laki, Daniel dan Nicolas, yang bekerja di Imperial Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia di St Petersburg.In July 1726, Nicolas died of appendicitis after spending a year in Russia, and when Daniel assumed his brother’s position in the mathematics/physics division, he recommended that the post in physiology that he had vacated be filled by his friend Euler. Pada bulan Juli 1726, Nicolas meninggal karena radang usus buntu setelah menghabiskan satu tahun di Rusia, dan ketika Daniel diasumsikan posisi kakaknya dalam matematika / fisika divisi, ia menyarankan agar pos dalam fisiologi bahwa ia telah dikosongkan diisi oleh temannya Euler. In November 1726 Euler eagerly accepted the offer, but delayed making the trip to St Petersburg while he unsuccessfully applied for a physics professorship at the University of Basel. [ 12 ] Pada November 1726 Euler bersemangat menerima tawaran, tapi tertunda melakukan perjalanan ke St Petersburg sementara ia tidak berhasil diterapkan untuk guru besar fisika di Universitas Basel.

Euler tiba di ibukota Rusia pada 17 Mei 1727. He was promoted from his junior post in the medical department of the academy to a position in the mathematics department. Ia dipromosikan dari junior pos di departemen medis dari akademi untuk posisi di departemen matematika. He lodged with Daniel Bernoulli with whom he often worked in close collaboration. Dia diajukan dengan Daniel Bernoulli dengan siapa ia sering bekerja dalam kolaborasi erat. Euler mastered Russian and settled into life in St Petersburg. Euler menguasai Rusia dan menetap dalam kehidupan di St Petersburg. He also took on an additional job as a medic in the Russian Navy . [ 13 ] Dia juga mengambil pekerjaan tambahan sebagai dokter di Angkatan Laut Rusia.

Akademi di St Petersburg, yang didirikan oleh Peter Agung, itu dimaksudkan untuk meningkatkan pendidikan di Rusia dan untuk menutup kesenjangan ilmiah dengan Eropa Barat. As a result, it was made especially attractive to foreign scholars like Euler. Sebagai hasilnya, itu dibuat terutama menarik bagi para sarjana asing seperti Euler. The academy possessed ample financial resources and a comprehensive library drawn from the private libraries of Peter himself and of the nobility. Akademi cukup memiliki sumber daya keuangan dan perpustakaan yang lengkap yang diambil dari perpustakaan pribadi Peter sendiri dan kaum bangsawan. Very few students were enrolled in the academy so as to lessen the faculty’s teaching burden, and the academy emphasized research and offered to its faculty both the time and the freedom to pursue scientific questions. [ 11 ] Sangat sedikit siswa yang terdaftar di akademi sehingga mengurangi beban pengajaran fakultas, dan menekankan penelitian akademi dan menawarkan kepada para staf pengajar baik waktu dan kebebasan untuk mengejar pertanyaan-pertanyaan ilmiah.

Akademi’s wanita bajik, Catherine saya, yang telah melanjutkan kebijakan progresif almarhum suaminya, meninggal pada hari kedatangan Euler. The Russian nobility then gained power upon the ascension of the twelve-year-old Peter II . Bangsawan Rusia kemudian mendapatkan kekuasaan atas kenaikan dari dua belas tahun Peter II.The nobility were suspicious of the academy’s foreign scientists, and thus cut funding and caused other difficulties for Euler and his colleagues. Bangsawan curiga dari akademi ilmuwan asing, dan dengan demikian mengurangi pendanaan dan menyebabkan kesulitan lain untuk Euler dan rekan-rekannya.

Kondisi sedikit membaik setelah kematian Peter II, dan Euler cepat naik melalui pangkat di akademi dan menjadi profesor fisika pada tahun 1731. Two years later, Daniel Bernoulli, who was fed up with the censorship and hostility he faced at St. Petersburg, left for Basel. Dua tahun kemudian, Daniel Bernoulli, yang muak dengan sensor dan permusuhan yang ia hadapi di St Petersburg, berangkat ke Basel. Euler succeeded him as the head of the mathematics department. [ 14 ] Euler menggantikannya sebagai kepala departemen matematika.

Tanggal 7 Januari 1734, ia menikah dengan Katharina Gsell (1707-1773), seorang putri dari Georg Gsell, seorang pelukis dari Akademi Gimnasium.Pasangan muda membeli rumah oleh Sungai Neva.Of their thirteen children, only five survived childhood. [ 16 ] Tiga belas anak-anak mereka, hanya lima selamat masa kanak-kanak.

c)    Berlin

Prihatin tentang gejolak terus berlanjut di Rusia, St Petersburg Euler kiri pada 19 Juni 1741 untuk mengambil pos di Akademi Berlin, yang dia telah ditawarkan oleh Frederick Agung dari Prusia.He lived for twenty-five years in Berlin , where he wrote over 380 articles. Dia tinggal selama dua puluh lima tahun di Berlin, di mana ia menulis lebih dari 380 artikel. In Berlin, he published the two works which he would be most renowned for: the Introductio in analysin infinitorum , a text on functions published in 1748, and the Institutiones calculi differentialis , [ 17 ] published in 1755 on differential calculus . [ 18 ] In 1755, he was elected a foreign member of the Royal Swedish Academy of Sciences . Di Berlin, ia menerbitkan dua karya yang akan paling terkenal untuk: Introductio di analysin infinitorum, teks pada fungsi yang diterbitkan pada 1748, dan Institutiones kalkuli differentialis, diterbitkan pada tahun 1755 di kalkulus diferensial.Di 1755, ia terpilih sebagai anggota asing dari Royal Swedish Academy of Sciences.

Selain itu, Euler diminta untuk tutor Putri Anhalt-Dessau, Frederick keponakan. Euler wrote over 200 letters to her, which were later compiled into a best-selling volume entitled Letters of Euler on different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess . Euler menulis lebih dari 200 surat-surat kepadanya, yang kemudian disusun menjadi sebuah buku terlaris berjudul Surat dari Euler pada berbagai Subjects dalam Filsafat Alam Jerman yang ditujukan kepada Putri.This work contained Euler’s exposition on various subjects pertaining to physics and mathematics, as well as offering valuable insights into Euler’s personality and religious beliefs. Karya ini berisi penjelasan Euler pada berbagai subyek yang berkaitan dengan fisika dan matematika, serta menawarkan wawasan berharga Euler kepribadian dan keyakinan keagamaan. This book became more widely read than any of his mathematical works, and it was published across Europe and in the United States. Buku ini menjadi lebih banyak dibaca daripada karya matematika, dan diterbitkan di seluruh Eropa dan di Amerika Serikat. The popularity of the ‘Letters’ testifies to Euler’s ability to communicate scientific matters effectively to a lay audience, a rare ability for a dedicated research scientist. [ 18 ] Popularitas ‘Surat’ memberi kesaksian tentang Euler kemampuan untuk berkomunikasi secara efektif masalah-masalah ilmiah untuk khalayak awam, kemampuan yang langka untuk penelitian ilmuwan yang berdedikasi.

Despite Euler’s immense contribution to the Academy’s prestige, he was eventually forced to leave Berlin. Meskipun Euler kontribusi besar Akademi wibawa, dia akhirnya dipaksa untuk meninggalkan Berlin. This was partly because of a conflict of personality with Frederick, who came to regard Euler as unsophisticated, especially in comparison to the circle of philosophers the German king brought to the Academy. Voltaire was among those in Frederick’s employ, and the Frenchman enjoyed a prominent position in the king’s social circle. Hal ini sebagian karena konflik kepribadian dengan Frederick, yang datang menganggap Euler sebagai tidak canggih, khususnya dibandingkan lingkaran raja filsuf Jerman dibawa ke Akademi. Voltaire ada di antara mereka yang mempekerjakan Frederick, dan menikmati terkemuka Prancis posisi dalam lingkaran sosial raja. Euler, a simple religious man and a hard worker, was very conventional in his beliefs and tastes. Euler, pria religius yang sederhana dan seorang pekerja keras, sangat konvensional dalam keyakinan dan selera. He was in many ways the direct opposite of Voltaire. Ia dalam banyak hal berlawanan langsung Voltaire. Euler had limited training in rhetoric , and tended to debate matters that he knew little about, making him a frequent target of Voltaire’s wit. [ 18 ]Frederick also expressed disappointment with Euler’s practical engineering abilities: Euler memiliki pelatihan terbatas retorika, dan cenderung untuk debat hal-hal yang ia tahu sedikit tentang, membuatnya sering menjadi kecerdasan Voltaire.Frederick juga menyatakan kekecewaannya dengan teknik praktis Euler kemampuan: “Aku ingin memiliki jet air di kebun saya: Euler menghitung gaya dari roda yang diperlukan untuk menaikkan air ke sebuah waduk, dari mana ia harus jatuh kembali melalui saluran, akhirnya muncrat di Sanssouci.My mill was carried out geometrically and could not raise a mouthful of water closer than fifty paces to the reservoir. Saya pabrik dilakukan secara geometris dan tidak dapat mengangkat seteguk air lebih dekat daripada lima puluh langkah ke reservoir. Vanity of vanities! Kesombongan dari kesombongan! Vanity of geometry! [ 19 ] Kesombongan dari geometri!

d)    Pengelihatan yang Merosot

Euler’s penglihatan memburuk matematika sepanjang kariernya. Three years after suffering a near-fatal fever in 1735 he became nearly blind in his right eye, but Euler rather blamed his condition on the painstaking work on cartography he performed for the St. Petersburg Academy. Tiga tahun setelah penderitaan yang hampir-fatal demam pada 1735 ia menjadi hampir buta di mata kanan, tapi agak menyalahkan Euler kondisinya pada susah payah bekerja pada pemetaan yang dilakukan untuk St Petersburg Academy. Euler’s sight in that eye worsened throughout his stay in Germany, so much so that Frederick referred to him as ” Cyclops “. Euler penglihatan di mata memburuk sepanjang tinggal di Jerman, begitu banyak sehingga Frederick menyebutnya sebagai “Cyclops”.Euler later suffered a cataract in his good left eye, rendering him almost totally blind a few weeks after its discovery in 1766. Euler kemudian menderita katarak di mata kiri baik, membuat dia hampir sama sekali buta beberapa minggu setelah penemuannya pada 1766. Even so, his condition appeared to have little effect on his productivity, as he compensated for it with his mental calculation skills and photographic memory . Meskipun demikian, kondisinya tampaknya memiliki pengaruh yang kecil pada produktivitas, ketika ia dikompensasi dengan perhitungan mentalnya keterampilan dan photographic memory.For example, Euler could repeat the Aeneid of Virgil from beginning to end without hesitation, and for every page in the edition he could indicate which line was the first and which the last. Sebagai contoh, Euler bisa mengulang Aeneid dari Virgil dari awal sampai akhir tanpa ragu-ragu, dan untuk setiap halaman pada edisi yang dia dapat menunjukkan jalur yang pertama dan terakhir. With the aid of his scribes, Euler’s productivity on many areas of study actually increased. Dengan bantuan dari ahli-ahli Taurat, Euler produktivitas pada banyak bidang studi yang benar-benar meningkat. He produced on average one mathematical paper every week in the year 1775. [ 6 ] Dia mengeluarkan satu matematika rata-rata kertas setiap minggu di tahun 1775.

e)    Kembali ke Rusia

Situasi di Rusia telah meningkat sangat sejak naik tahta dari Katarina yang Agung, dan pada 1766 Euler menerima undangan untuk kembali ke St Petersburg Academy dan menghabiskan sisa hidupnya di Rusia. His second stay in the country was marred by tragedy. Kedua tinggal di negara ini dirusak oleh tragedi. A fire in St. Petersburg in 1771 cost him his home, and almost his life. Api di St Petersburg tahun 1771 dibayar dengan rumah, dan hampir hidupnya. In 1773, he lost his wife of 40 years. Pada 1773, dia kehilangan istri dari 40 tahun. Three years after his wife’s death Euler married her half sister, Salome Abigail Gsell (1723–1794). [ 21 ] This marriage would last until his death. Tiga tahun setelah kematian istrinya Euler menikah dengan kakak tiri, Salome Abigail Gsell (1723-1794).  Perkawinan ini akan berlangsung hingga kematiannya.

On 18 September 1783, Euler died in St. Petersburg after suffering a brain hemorrhage , and was buried with his wife in the Smolensk Lutheran Cemetery on Vasilievsky Island (the Soviets destroyed the cemetery after transferring Euler’s remains to the Orthodox Alexander Nevsky Lavra Pada tanggal 18 September 1783, Euler meninggal di St Petersburg setelah menderita pendarahan otak, dan dikuburkan bersama istrinya dalam Lutheran Smolensk Pemakaman di Pulau Vasilievsky (menghancurkan Soviet setelah mentransfer Euler pemakaman jenazah ke Ortodoks Alexander Nevsky Lavra).His eulogy was written for the French Academy by the French mathematician and philosopher Marquis de Condorcet , and an account of his life, with a list of his works, by Nikolaus von Fuss, Euler’s son-in-law and the secretary of the Imperial Academy of St. Petersburg . Pidato-nya ini ditulis untuk Akademi Perancis oleh matematikawan dan filsuf Perancis Marquis de Condorcet, dan account hidupnya, dengan daftar karya-karyanya, oleh Nikolaus von Repotnya, Euler anak mertua dan sekretaris dari Imperial Akademi St Petersburg.Condorcet commented, Condorcet berkomentar,” Il cessa de calculer et de vivre – … ia tidak lagi menghitung dan untuk hidup.”

  1. C. Kontribusi terhadap matematika dan fisika

Euler bekerja di hampir semua bidang matematika: geometri,sangat kecil kalkulus,trigonometri,aljabar, dan teori bilangan, serta kontinum fisika,teori lunar dan wilayah-wilayah lain fisika.He is a seminal figure in the history of mathematics; if printed, his works, many of which are of fundamental interest, would occupy between 60 and 80 quarto volumes. [ 6 ] Euler’s name is associated with a large number of topics . Ia adalah tokoh mani dalam sejarah matematika; jika dicetak, karya-karyanya, banyak di antaranya adalah bunga fundamental, akan menempati antara 60 dan 80 kuarto volume. Nama Euler dikaitkan dengan banyak topik.

Hasil matematika dan ilmiah Euler betul-betul tak masuk akal. Dia menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Orang bilang, kumpulan tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri dari lebih 70 jilid! Kegeniusan Euler memperkaya hampir segala segi matematika murni maupun matematika siap pakai, dan sumbangannya terhadap matematika fisika hampir tak ada batasnya untuk penggunaan.

Euler khusus ahli mendemonstrasikan bagaimana hukum-hukum umum mekanika, yang telah dirumuskan di abad sebelumnya oleh Isaac Newton, dapat digunakan dalam jenis situasi fisika tertentu yang terjadi berulang kali. Misalnya, dengan menggunakan hukum Newton dalam hal gerak cairan, Euler sanggup mengembangkan persamaan hydrodinamika. Juga, melalui analisa yang cermat tentang kemungkinan gerak dari barang yang kekar, dan dengan penggunaan prinsip-prinsip Newton. Dan Euler berkemampuan mengembangkan sejumlah pendapat yang sepenuhnya menentukan gerak dari barang kekar. Dalam praktek, tentu saja, obyek benda tidak selamanya mesti kekar. Karena itu, Euler juga membuat sumbangan penting tentang teori elastisitas yang menjabarkan bagaimana benda padat dapat berubah bentuk lewat penggunaan tenaga luar.

Euler juga menggunakan bakatnya dalam hal analisa matematika tentang permasalahan astronomi, khusus menyangkut soal “tiga-badan” yang berkaitan dengan masalah bagaimana matahari, bumi, dan bulan bergerak di bawah gaya berat mereka masing-masing yang sama. Masalah ini –suatu masalah yang jadi pemikiran untuk abad ke-21– belum sepenuhnya terpecahkan. Kebetulan, Euler satu-satunya ilmuwan terkemuka dari abad ke-18 yang (secara tepat, seperti belakangan terbukti) mendukung teori gelombang cahaya.

Buah pikiran Euler yang berhamburan tak hentinya itu sering menghasilkan titik tolak buat penemuan matematika yang bisa membuat seseorang masyhur. Misalnya, Joseph Louis Lagrange, ahli fisika matematika Perancis, berhasil merumuskan serentetan rumus (“rumus Lagrange”) yang punya makna teoritis penting dan dapat digunakan memecahkan pelbagai masalah mekanika. Rumus dasarnya diketemukan oleh Euler, karena itu sering disebut rumus Euler-Lagrange. Matematikus Perancis lainnya, Jean Baptiste Fourier, umumnya dianggap berjasa dengan penemuan teknik matematikanya, terkenal dengan julukan analisa Fourier. Di sini pun, rumus dasarnya pertama diketemukan oleh Leonhard Euler, dan dikenal dengan julukan formula Euler- Fourier. Mereka menemukan penggunaan yang luas dan beraneka macam di bidang fisika, termasuk akustik dan teori elektromagnetik.

Dalam urusan matematika, Euler khusus tertarik di bidang kalkulus, rumus diferensial, dan ketidakterbatasan suatu jumlah. Sumbangannya dalam bidang ini, kendati amat penting, terlampau teknis dipaparkan di sini. Sumbangannya di bidang variasi kalkulus dan terhadap teori tentang kekompleksan jumlah merupakan dasar dari semua perkembangan berikutnya di bidang ini. Kedua topik itu punya jangkauan luas dalam bidang penggunaan kerja praktek ilmiah, sebagai tambahan arti penting di bidang matematika murni.

Formula Euler, , menunjukkan adanya hubungan antara fungsi trigonometrik dan jumlah imaginer, dan dapat digunakan menemukan logaritma tentang jumlah negatif. Ini merupakan satu dari formula yang paling luas digunakan dalam semua bidang matematika. Euler juga menulis sebuah textbook tentang geometri analitis dan membuat sumbangan penting dalam bidang geometri diferensial dan geometri biasa.

Kendati Euler punya kesanggupan yang hebat untuk penemuan-penemuan matematika yang memungkinkannya melakukan praktek-praktek ilmiah, dia hampir punya kelebihan setara dalam bidang matematika murni. Malangnya, sumbangannya yang begitu banyak di bidang teori jumlah, tetapi tidak begitu banyak yang bisa dipaparkan di sini. Euler juga orang pemula yang bekerja di bidang topologi, sebuah cabang matematika yang punya arti penting di abad ke-20.

Akhirnya, Euler memberi sumbangan penting buat sistem lambang jumlah matematik masa kini. Misalnya, dia bertanggung jawab untuk penggunaan umum huruf Yunani untuk menerangkan rasio antara keliling lingkaran terhadap diameternya. Dia juga memperkenalkan banyak sistem tanda yang cocok yang kini umum dipakai di bidang matematika.

a)    Notasi matematika

Euler diperkenalkan dan dipopulerkan beberapa konvensi notasi melalui banyak dan beredar luas buku pelajaran. Most notably, he introduced the concept of a function[ 5 ] and was the first to write f ( x ) to denote the function f applied to the argument x . Paling menonjol, dia memperkenalkan konsep fungsi dan merupakan orang pertama yang menulis f (x) untuk menyatakan fungsi f diterapkan pada argumen x.He also introduced the modern notation for the trigonometric functions , the letter e for the base of the natural logarithm (now also known as Euler’s number ), the Greek letter Σ for summations and the letter i to denote the imaginary unit . [ 23 ] The use of the Greek letter π to denote the ratio of a circle’s circumference to its diameter was also popularized by Euler, although it did not originate with him. [ 24 ] Dia juga memperkenalkan notasi modern untuk fungsi-fungsi trigonometri, huruf e untuk dasar logaritma alami (sekarang juga dikenal sebagai nomor Euler), huruf Yunani Σ untuk penjumlahan dan huruf i untuk menunjukkan satuan imajiner. The penggunaan huruf Yunani π untuk menunjukkan rasio dari keliling lingkaran dengan diameter juga dipopulerkan oleh Euler, meskipun bukan berasal dari dia.

b)    Analisis

Perkembangan kalkulus amat kecil berada di garis depan abad 18 penelitian matematika, dan Bernoullis-teman keluarga dari Euler-yang bertanggung jawab untuk banyak kemajuan awal di lapangan. Thanks to their influence, studying calculus became the major focus of Euler’s work. Berkat pengaruh mereka, mempelajari kalkulus menjadi fokus utama pekerjaan Euler. While some of Euler’s proofs are not acceptable by modern standards of mathematical rigour , [ 25 ] his ideas led to many great advances. Sementara sebagian dari bukti-bukti Euler tidak dapat diterima oleh standar modern keketatan matematis, ide-idenya menimbulkan banyak kemajuan besar. Euler is well-known in analysis for his frequent use and development of power series , the expression of functions as sums of infinitely many terms, such as Euler dikenal dalam analisis untuk sering digunakan dan dikembangkan dari seri kekuasaan, ekspresi berfungsi sebagai jumlah tak terhingga banyaknya istilah, seperti

Notably, Euler directly proved the power series expansions for e and the inverse tangent function. Terutama, Euler langsung membuktikan kekuatan ekspansi seri e dan tangen invers fungsi. (Indirect proof via the inverse power series technique was given by Newton and Leibniz between 1670 and 1680.) His daring (and, by modern standards, technically incorrect) use of power series enabled him to solve the famous Basel problem in 1735: [ 25 ] (Bukti tidak langsung melalui teknik invers deret pangkat diberikan oleh Newton dan Leibniz antara 1670 dan 1680.) Berani-Nya (dan, menurut standar modern, salah teknis) penggunaan kekuasaan seri memungkinkan dia untuk memecahkan terkenal masalah Basel pada 1735:

Euler memperkenalkan penggunaan fungsi eksponensial dan logaritma dalam bukti analitis. He discovered ways to express various logarithmic functions using power series, and he successfully defined logarithms for negative and complex numbers , thus greatly expanding the scope of mathematical applications of logarithms. [ 23 ] He also defined the exponential function for complex numbers, and discovered its relation to the trigonometric functions . Ia menemukan cara untuk mengungkapkan berbagai fungsi logaritmik menggunakan deret pangkat, dan ia berhasil didefinisikan logaritma untuk negatif dan bilangan kompleks, sehingga sangat memperluas cakupan aplikasi matematika logaritma. Ia juga menetapkan fungsi eksponensial untuk bilangan kompleks, dan menemukan yang kaitannya dengan fungsi trigonometri.For any real numberφ , Euler’s formula states that the complex exponential function satisfies Untuk setiap bilangan realφ,Euler’s formula menyatakan bahwa eksponensial kompleks memenuhi fungsi

A special case of the above formula is known as Euler’s identity , Suatu kasus khusus dari rumus di atas dikenal sebagai identitas Euler,

called “the most remarkable formula in mathematics” by Richard Feynman , for its single uses of the notions of addition, multiplication, exponentiation, and equality, and the single uses of the important constants 0, 1, e , i and π. [ 26 ] In 1988, readers of the Mathematical Intelligencer voted it “the Most Beautiful Mathematical Formula Ever”. [ 27 ] In total, Euler was responsible for three of the top five formulae in that poll. [ 27 ] disebut “formula yang paling luar biasa di bidang matematika” oleh Richard Feynman, untuk penggunaan tunggal pengertian penjumlahan, perkalian, exponentiation, dan kesetaraan, dan satu-satunya menggunakan konstanta penting 0, 1, e, i, dan π. Pada tahun 1988, para pembaca dari Mathematical Intelligencer voted it “the Most Beautiful Mathematical Formula Ever”.  Secara total, Euler bertanggung jawab atas tiga dari lima rumus dalam jajak pendapat.

De Moivre’s formula is a direct consequence of Euler’s formula .De Moivre’s formula adalah konsekuensi langsung dari rumus Euler.

In addition, Euler elaborated the theory of higher transcendental functions by introducing the gamma function and introduced a new method for solving quartic equations . Selain itu, Euler menguraikan teori lebih tinggi fungsi transendental dengan memperkenalkan fungsi gamma dan memperkenalkan metode baru untuk menyelesaikan persamaan quartic.He also found a way to calculate integrals with complex limits, foreshadowing the development of modern complex analysis , and invented the calculus of variations including its best-known result, the Euler–Lagrange equation . Dia juga menemukan cara untuk menghitung integral dengan batas-batas kompleks, pratanda perkembangan modern analisis kompleks, dan menemukan kalkulus variasi termasuk terkenal Akibatnya, persamaan Euler-Lagrange.

Euler also pioneered the use of analytic methods to solve number theory problems. Euler juga memelopori penggunaan metode analitik untuk menyelesaikan masalah-masalah teori bilangan. In doing so, he united two disparate branches of mathematics and introduced a new field of study, analytic number theory . Dalam melakukannya, ia menyatukan dua cabang berbeda matematika dan memperkenalkan bidang studi baru, analitis teori bilangan.In breaking ground for this new field, Euler created the theory of hypergeometric series , q-series , hyperbolic trigonometric functions and the analytic theory of continued fractions . Dalam memecahkan tanah untuk bidang baru ini, Euler menciptakan teori HIPERGEOMETRIS seri,q-series,fungsi trigonometri hiperbolik dan teori analitik dari pecahan melanjutkan.For example, he proved the infinitude of primes using the divergence of the harmonic series , and he used analytic methods to gain some understanding of the way prime numbers are distributed. Misalnya, ia membuktikan ketidakterbatasan dari bilangan prima menggunakan perbedaan dari seri harmonis, dan ia menggunakan metode analitik untuk mendapatkan beberapa pemahaman tentang cara bilangan prima didistribusikan. Euler’s work in this area led to the development of the prime number theorem . [ 28 ] Euler bekerja di wilayah ini menyebabkan perkembangan teorema bilangan prima.

c)    Nomor Teori

Minat Euler teori bilangan dapat dilacak pengaruh Kristen Goldbach, temannya di St Petersburg Academy. A lot of Euler’s early work on number theory was based on the works of Pierre de Fermat . Banyak karya awal Euler pada teori bilangan didasarkan pada karya-karya Pierre de Fermat.Euler developed some of Fermat’s ideas, and disproved some of his conjectures. Euler mengembangkan beberapa ide Fermat, dan menyangkal sebagian dari perkiraan.

Euler linked the nature of prime distribution with ideas in analysis. Euler mengaitkan sifat distribusi dengan ide utama dalam analisis. He proved that the sum of the reciprocals of the primes diverges . Ia membuktikan bahwa jumlah bilangan prima Kebalikan dari menyimpang.In doing so, he discovered the connection between the Riemann zeta function and the prime numbers; this is known as the Euler product formula for the Riemann zeta function . Dalam melakukannya, ia menemukan hubungan antara fungsi zeta Riemann dan bilangan prima; ini dikenal sebagai produk Euler rumus untuk fungsi zeta Riemann.

Euler proved Newton’s identities , Fermat’s little theorem , Fermat’s theorem on sums of two squares , and he made distinct contributions to Lagrange’s four-square theorem . Euler membuktikan identitas Newton,Teorema kecil Fermat,teorema Fermat pada jumlah dua kotak, dan ia membuat kontribusi yang berbeda untuk Lagrange persegi empat teorema.He also invented the totient function φ( n ) which is the number of positive integers less than or equal to the integer n that are coprime to n . Dia juga menemukan fungsi totient φ (n) yang merupakan jumlah bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan bilangan bulat n yang coprime ke n.Using properties of this function, he generalized Fermat’s little theorem to what is now known as Euler’s theorem . Menggunakan sifat fungsi ini, ia digeneralisasi Teorema kecil Fermat untuk apa yang sekarang dikenal sebagai Teorema Euler.He contributed significantly to the theory of perfect numbers , which had fascinated mathematicians since Euclid . Dia memberikan kontribusi signifikan terhadap teori bilangan sempurna, yang telah terpesona matematikawan sejak Euclid.Euler also made progress toward the prime number theorem , and he conjectured the law of quadratic reciprocity . Euler juga membuat kemajuan menuju teorema bilangan prima, dan dia menduga hukum timbal balik kuadrat.The two concepts are regarded as fundamental theorems of number theory, and his ideas paved the way for the work of Carl Friedrich Gauss . [ 29 ]Dua konsep dianggap sebagai teorema dasar teori bilangan, dan ide-idenya membuka jalan untuk karya Carl Friedrich Gauss.

By 1772 Euler had proved that 2 31 − 1 = 2,147,483,647 is a Mersenne prime . By 1772 Euler telah membuktikan bahwa 2 31 – 1 = 2147483647 adalah Mersenne prima.It may have remained the largest known prime until 1867. [ 30 ] Mungkin tetap prima terbesar yang diketahui sampai tahun 1867.

d)    Teori graf

Pada tahun 1736, Euler memecahkan masalah yang dikenal sebagai Tujuh Jembatan Königsberg. Kota Königsberg,Prusia ditetapkan di Pregel Sungai, dan termasuk dua pulau besar yang dihubungkan satu sama lain dan daratan oleh tujuh jembatan. The problem is to decide whether it is possible to follow a path that crosses each bridge exactly once and returns to the starting point. Masalahnya adalah untuk menentukan apakah mungkin untuk mengikuti jalan yang melintasi setiap jembatan tepat sekali dan kembali ke titik awal. It is not: there is no Eulerian circuit . Ia bukan: tidak ada Eulerian sirkuit.This solution is considered to be the first theorem of graph theory , specifically of planar graph theory. [ 31 ] Solusi ini dianggap sebagai teorema pertama dari teori graph, khususnya dari graph planar teori.

Euler also discovered the formulaVE + F = 2 relating the number of vertices, edges, and faces of a convex polyhedron[ 32 ] , and hence of a planar graph (for a planar graph, VE + F = 1). Euler juga menemukan rumusVE + F = 2 terkait jumlah simpul, sisi, dan wajah-wajah cembung polyhedron, dan karenanya suatu grafik datar (untuk grafik planar, VE + F = 1) . The constant in this formula is now known as the Euler characteristic for the graph (or other mathematical object), and is related to the genus of the object. [ 33 ] The study and generalization of this formula, specifically by Cauchy[ 34 ] and L’Huillier , [ 35 ] is at the origin of topology . Konstan dalam formula ini sekarang dikenal sebagai karakteristik Euler untuk grafik (atau objek matematika yang lain), dan berkaitan dengan genus dari objek. Studi dan generalisasi dari rumus ini, khususnya oleh Cauchy dan L’Huillier, adalah pada asal topologi.

Peta Königsberg dalam waktu Euler menunjukkan tata letak yang sebenarnya dari tujuh jembatan, menyoroti Pregel sungai dan jembatan.

e)    Matematika Terapan

Beberapa keberhasilan terbesar Euler berada dalam memecahkan masalah di dunia nyata analitis, dan dalam menggambarkan berbagai aplikasi dari angka Bernoulli,Fourier series,diagram Venn,Euler angka, konstanta e dan π, terus pecahan dan integral. He integrated Leibniz ‘s differential calculus with Newton’s Method of Fluxions , and developed tools that made it easier to apply calculus to physical problems. Dia terintegrasi Leibniz ‘s diferensial kalkulus dengan Newton Metode Fluxions, dan mengembangkan alat yang membuat lebih mudah untuk menerapkan kalkulus untuk masalah fisik. He made great strides in improving the numerical approximation of integrals, inventing what are now known as the Euler approximations . Dia membuat langkah besar dalam meningkatkan pendekatan numerik integral, menciptakan apa yang sekarang dikenal sebagai perkiraan Euler.The most notable of these approximations are Euler’s method and the Euler–Maclaurin formula . Yang paling menonjol dari pendekatan ini adalah metode Euler dan formula Euler-Maclaurin.He also facilitated the use of differential equations , in particular introducing the Euler–Mascheroni constant : Dia juga memfasilitasi penggunaan persamaan diferensial, khususnya memperkenalkan konstanta Euler-Mascheroni:

One of Euler’s more unusual interests was the application of mathematical ideas in music . Salah satu Euler kepentingan yang lebih tidak biasa adalah penerapan ide-ide matematika dalam musik.In 1739 he wrote the Tentamen novae theoriae musicae, hoping to eventually incorporate musical theory as part of mathematics. Pada 1739 ia menulis Tentamen novae theoriae musicae, berharap untuk akhirnya menggabungkan teori musik sebagai bagian dari matematika. This part of his work, however, did not receive wide attention and was once described as too mathematical for musicians and too musical for mathematicians. [ 36 ] Ini bagian dari pekerjaannya, bagaimanpun, tidak menerima perhatian luas dan pernah digambarkan sebagai terlalu matematis untuk musisi dan terlalu musik untuk matematikawan.

f)     Fisika dan astronomi

Euler membantu mengembangkan Euler-Bernoulli balok persamaan, yang menjadi landasan rekayasa. Aside from successfully applying his analytic tools to problems in classical mechanics , Euler also applied these techniques to celestial problems. Selain berhasil menerapkan alat analitik-nya masalah dalammekanika klasik, Euler juga diterapkan teknik ini untuk masalah surgawi. His work in astronomy was recognized by a number of Paris Academy Prizes over the course of his career. Karyanya dalam astronomi diakui oleh sejumlah Hadiah Akademi Paris selama kariernya. His accomplishments include determining with great accuracy the orbits of comets and other celestial bodies, understanding the nature of comets, and calculating the parallax of the sun. Termasuk menentukan prestasinya dengan akurasi besar orbit komet dan benda angkasa lain, memahami sifat komet, dan menghitung paralaks dari matahari. His calculations also contributed to the development of accurate longitude tables . [ 37 ] Perhitungan-Nya pula memberikan kontribusi kepada pengembangan akurat meja bujur.

In addition, Euler made important contributions in optics .Selain itu, Euler membuat kontribusi penting dalam optik.He disagreed with Newton’s corpuscular theory of light in the Opticks , which was then the prevailing theory. Dia tidak setuju dengan teori sel hidup Newton cahaya di Opticks, yang kemudian teori yang berlaku. His 1740s papers on optics helped ensure that the wave theory of light proposed by Christian Huygens would become the dominant mode of thought, at least until the development of the quantum theory of light . [ 38 ] 1740s-Nya makalah tentang optik membantu memastikan bahwa teori gelombang cahaya yang diusulkan oleh Christian Huygens akan menjadi cara berpikir dominan, setidaknya sampai perkembangan teori kuantum cahaya.

g)    Logika

Dia juga dikreditkan dengan menggunakan kurva tertutup untuk menggambarkan silogisme penalaran (1768). These diagrams have become known as Euler diagrams . [ 39 ] Diagram ini telah menjadi dikenal sebagai diagram Euler.

  1. Pribadi Agama dan Filsafat

Euler dan temannya Daniel Bernoulli adalah lawan dari Leibnizmonadism dan filsafat Wolff Kristen.Euler insisted that knowledge is founded in part on the basis of precise quantitative laws, something that monadism and Wolffian science were unable to provide. Euler bersikeras bahwa pengetahuan adalah didirikan di bagian atas dasar hukum yang tepat kuantitatif, sesuatu yang Wolffii monadism dan ilmu pengetahuan tidak mampu menyediakan. Euler’s religious leanings might also have had a bearing on his dislike of the doctrine; he went so far as to label Wolff’s ideas as “heathen and atheistic”. [ 40 ] Euler kecenderungan keagamaan mungkin juga memiliki bantalan pada doktrin tidak suka, dia pergi begitu jauh dengan ide-ide Wolff label sebagai “kafir dan ateistik”.

Much of what is known of Euler’s religious beliefs can be deduced from his Letters to a German Princess and an earlier work, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister ( Defense of the Divine Revelation against the Objections of the Freethinkers ). Banyak dari apa yang diketahui tentang keyakinan agama Euler dapat disimpulkan dari Surat ke Putri Jerman dan bekerja sebelumnya, Rettung Göttlichen Offenbahrung der Einwürfe der Gegen die Freygeister (Pertahanan dari Wahyu Ilahi terhadap Keberatan dari Freethinkers).These works show that Euler was a devout Christian who believed the Bible to be inspired; the Rettung was primarily an argument for the divine inspiration of scripture . [ 8 ] Karya-karya ini menunjukkan bahwa Euler adalah seorang saleh Kristen yang percaya Alkitab sebagai inspirasi; yang Rettung terutama argumen untuk inspirasi ilahi Kitab Suci.

There is a famous anecdote inspired by Euler’s arguments with secular philosophers over religion, which is set during Euler’s second stint at the St. Petersburg academy. Ada anekdot terkenal diilhami oleh argumen Euler dengan filsuf sekuler atas agama, yang ditetapkan Euler kedua selama bertugas di St Petersburg akademi. The French philosopher Denis Diderot was visiting Russia on Catherine the Great’s invitation. Filsuf Perancis, Denis Diderot sedang mengunjungi Rusia pada Katarina yang Agung undangan. However, the Empress was alarmed that the philosopher’s arguments for atheism were influencing members of her court, and so Euler was asked to confront the Frenchman. Namun, sang Ratu khawatir bahwa argumen filsuf ateisme adalah mempengaruhi anggota-anggota pengadilan, dan begitu Euler diminta untuk menghadapi Prancis. Diderot was later informed that a learned mathematician had produced a proof of the existence of God : he agreed to view the proof as it was presented in court. Diderot kemudian diberitahu bahwa seorang matematikawan belajar telah menghasilkan bukti keberadaan Tuhan: dia setuju untuk melihat bukti seperti yang disajikan di pengadilan. Euler appeared, advanced toward Diderot, and in a tone of perfect conviction announced, “Sir, Diderot, kepada siapa (menurut cerita) semua matematika itu omong kosong, berdiri terpaku sebagai tawa meledak dari pengadilan. Malu, ia diminta untuk meninggalkan Rusia, permintaan yang ramah yang diberikan oleh permaisuri. Namun pada anekdot lucu mungkin, itu adalah apokrif, mengingat bahwa Diderot adalah seorang matematikawan yang mampu telah menerbitkan risalah matematika.

Referensi

[Anonim].  2009.  Leonhard Euler.  [http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler].  Diakses pada tanggal 1 November 2009.

[Anonim].2009.Seratus Tokoh Paling Berpengaruh dalam Sejarah – 87 LEONHARD EULER (1707-1783).[http://bambans.web.id/seratus-tokoh/87-leonhard-euler]. Diakses pada tanggal 14 Desember 2009.

Robertson, EF.  1998.  Leonhard Euler.[http://www.history.mcs. standrews.ac.uk/Biographies/Euler.htm]. Diakses pada tanggal 1 Desember 2009

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s